设 $B,C$ 的横坐标分别为 $b,c$。则 $|AB|={\mathrm{e}}^b$、$|DC|={\mathrm{e}}^{-2c}$。由比例条件 ${\mathrm{e}}^b=2{\mathrm{e}}^{-2c}$，得 $b+2c=\ln 2$；由 $|AB|<1$ 得 $b<0$。

梯形面积为

其中用了 $c=\frac{\ln 2-b}{2}$。

求导得

唯一驻点为 $b=\frac{\ln 2}{3}-1<0$，且导数在该点左正右负；同时 $b\to -\infty$ 时 $S\to 0$，故该点给出最大值。

代回约束得 $c=\frac{\ln 2-b}{2}=\frac{\ln 2}{3}+\frac{1}{2}$。