对 ${\mathrm{e}}^{xy}-y=0$ 求导，得 ${\mathrm{e}}^{xy}(y+x{y}^{\prime })-y^{\prime }=0$。利用 ${\mathrm{e}}^{xy}=y$，可得

上述有限导数公式用于 $1-xy\ne 0$ 的点，此时隐函数定理保证局部可导。

由第二个方程有 $z=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}$，且方程不允许 $x=0$。于是

最后应用复合函数链式法则，

其中各偏导数均在 $(x,y(x),z(x))$ 处取值。