（1）可导保证连续。由 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$，取 $\epsilon =\frac{1}{2}$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时 $|f(x)-2|<\frac{1}{2}$，因而 $f(x)>\frac{3}{2}>1$。取有限点 $b=X+1$，便有 $f(b)>1$。
（2）$f$ 在 $[0,b]$ 连续，且 $f(0)=0<1<f(b)$。由介值定理，存在 $a\in (0,b)$，使 $f(a)=1$，特别地 $a>0$。这里先由极限找到有限的 $b$，不能将 $+\infty$ 当作区间端点。

沿用前问的 $a$，$f$ 在 $[0,a]$ 连续、在 $(0,a)$ 可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,a)$，使

该结论对前问中任意一个满足 $f(a)=1$ 的 $a>0$ 都成立，不需要假设这样的 $a$ 唯一。