$a\ne 2$

$(x_1,x_2,x_3,x_4)=(\frac{7a-10}{a-2},-\frac{2(a-1)}{a-2},\frac{1}{a-2},0)+c(-3,0,1,1),c\in \mathbb{R}$

用第一个方程减去第三个方程，得到

令 $t=x_3-x_4$，则该式与第二个方程分别化为

两式相减得

当 $a=2$ 时出现矛盾 $0=1$，方程组无解；当 $a\ne 2$ 时可取 $t=\frac{1}{a-2}$，再任取 $x_4$ 即可依次确定其余未知量。因此方程组有解当且仅当 $a\ne 2$。

在 $a\ne 2$ 时，由 $(a-2)(x_3-x_4)=1$ 得

令 $x_4=c$，则

由第三个方程 $x_1+2x_2+3x_4=3$ 得

因而通解为