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设函数
f
(
x
)
在
[
0
,
+
∞
)
上可导，
f
(
0
)
=
0
，且其反函数为
g
(
x
)
。若
∫
0
f
(
x
)
g
(
t
)
d
t
=
x
2
e
x
，求
f
(
x
)
。
答案
f
(
x
)
=
(
x
+
1
)
e
x
−
1
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对等式求导，并利用
g
(
f
(
x
))
=
x
，得
x
f
′
(
x
)
=
d
x
d
(
x
2
e
x
)
=
x
(
x
+
2
)
e
x
.
对
x
>
0
，有
f
′
(
x
)
=
(
x
+
2
)
e
x
。结合
f
(
0
)
=
0
积分：
f
(
x
)
=
∫
0
x
(
u
+
2
)
e
u
d
u
=
(
x
+
1
)
e
x
−
1.