1993 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

已知某厂生产

x

件产品的成本为

C = 25000 + 200 x + \frac{1}{40} x^{2}

（元）。

答案

$1000$ 件

$6000$ 件

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当 $x > 0$ 时，平均成本为

C (x) = \frac{C ( x )}{x} = \frac{25000}{x} + 200 + \frac{x}{40} .

其导数为

C^{'} (x) = - \frac{25000}{x ^{2}} + \frac{1}{40} .

令导数为零，得 $x^{2} = 1000000$ ，故取正根 $x = 1000$ 。

当 $0 < x < 1000$ 时导数为负，当 $x > 1000$ 时导数为正，所以平均成本在 $x = 1000$ 时最小，应生产 $1000$ 件。

利润函数为

L (x) = 500 x - C (x) = 300 x - 25000 - \frac{x ^{2}}{40} .

有 $L^{'} (x) = 300 - \frac{x}{20}$ 。令 $L^{'} (x) = 0$ ，得 $x = 6000$ 。

由于 $L^{''} (x) = - \frac{1}{20} < 0$ ，此时利润取得最大值，故应生产 $6000$ 件。