由 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,-1,1)$ 可知，$P$ 的第一、三列必须属于特征值 $1$，第二列必须属于特征值 $-1$，同时三列须线性无关。
${\alpha }_1+{\alpha }_2$ 是特征值 $1$ 的特征向量，因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关保证其和非零；$-{\alpha }_3$ 仍属于特征值 $-1$。但 ${\alpha }_1+{\alpha }_3$ 不是特征向量：若 $A({\alpha }_1+{\alpha }_3)=\lambda ({\alpha }_1+{\alpha }_3)$，由不同特征值的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_3$ 线性无关，比较系数须同时有 $\lambda =1$ 与 $\lambda =-1$，矛盾。因此 A、C 项排除；B 项虽都是特征向量，但第二、三列与目标对角元顺序不符。
D 项的三列顺序正确，还须验证可逆性。原组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，且

右侧系数矩阵行列式为 $1$，所以 $P$ 可逆，并满足 $AP=P\mathrm{diag}(1,-1,1)$。故选 D。