原积分区域为 $0\le x\le 2$、$x\le y\le 2$。交换次序后为 $0\le y\le 2$、$0\le x\le y$。

于是

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^2\mathrm{d}x{\int }_x^2{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y& ={\int }_0^2{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y{\int }_0^y\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{2}y{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y.\end{array}$$

积分得

$$-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-y^2}{|}_0^2=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-4}}{2}.$$