2026 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

某种元件的寿命服从均值为未知参数

θ > 0

的指数分布。取

n

个寿命相互独立的元件同时试验，到出现

k

个元件失效时停止，其中

n, k

为整数且

1 \leq k \leq n

。

(1) 当 $k = 1$ 时，失效元件寿命为 $T$ ，求 $T$ 的概率密度；
(2) 在第（1）问的情形下，确定 $a$ ，使 $θ = a T$ 为 $θ$ 的无偏估计，并求 $D (θ)$ ；
(3) 已知失效寿命 $0 < t_{1} \leq \dots \leq t_{k}$ ，似然函数 $L (θ) = \frac{1}{θ ^{k}} e^{- \frac{1}{θ} [i = 1 \sum k t_{i} + (n - k) t_{k}]}$ ，求 $θ$ 的最大似然估计值。

答案

第 1 问

$f_{T} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{n}{θ} e^{- \frac{n t}{θ}}, 0, t > 0, t \leq 0.$

第 2 问

$a = n$ ， $D (θ) = θ^{2}$ 。

第 3 问

$θ = \frac{i = 1 \sum k t _{i} + ( n - k ) t _{k}}{k}$ 。

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第 1 问

设各元件寿命为 $T_{1}, \dots, T_{n}$ 。当 $k = 1$ 时，停止时刻是第一次失效时刻，故 $T = min (T_{1}, \dots, T_{n})$ 。对 $t \geq 0$ ，由寿命相互独立，

P (T > t) = P (T_{1} > t, \dots, T_{n} > t) = \prod_{i = 1}^{n} e^{- \frac{t}{θ}} = e^{- \frac{n t}{θ}} .

因此 $F_{T} (t) = 1 - e^{- \frac{n t}{θ}}$ （ $t \geq 0$ ）， $t < 0$ 时为零。求导得 $f_{T} (t) = \frac{n}{θ} e^{- \frac{n t}{θ}}$ （ $t > 0$ ），其余处可取零。

第 2 问

第一问表明 $T$ 服从均值为 $\frac{θ}{n}$ 的指数分布，故 $E (T) = \frac{θ}{n}$ ， $D (T) = \frac{θ ^{2}}{n ^{2}}$ 。无偏性要求 $E (a T) = \frac{a θ}{n} = θ$ ，得 $a = n$ 。此时 $D (θ) = D (n T) = n^{2} D (T) = θ^{2}$ 。

第 3 问

记 $S = i = 1 \sum k t_{i} + (n - k) t_{k} > 0$ ，它是所有元件截至停止时刻的总工作时间。给定似然为 $L (θ) = θ^{- k} e^{- \frac{S}{θ}}$ ，取对数得 $ℓ (θ) = - k ln θ - \frac{S}{θ}$ ，故 $ℓ^{'} (θ) = \frac{( S - k θ )}{θ ^{2}}$ 。
当 $0 < θ < \frac{S}{k}$ 时导数为正，当 $θ > \frac{S}{k}$ 时为负，所以唯一最大似然估计值为 $θ = \frac{S}{k}$ 。取 $k = 1$ 时该式为 $n t_{1}$ ，与前问的 $n T$ 一致。