记 $F(x,y)=f(x)\ln f(y)$。由 $f>0$ 且 $f$ 有二阶连续导数，$F$ 有二阶连续偏导数。先求一阶偏导：$F_x=f^{\prime }(x)\ln f(y)$、$F_y=f(x)\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}$。利用 $f^{\prime }(0)=0$，可知 $F_x(0,0)=F_y(0,0)=0$，故原点为驻点。
在原点记二阶偏导为 $A=F_{xx}$、$B=F_{xy}$、$C=F_{yy}$，分别得到

因此判别式为 $AC-B^2=[f^{\prime \prime }(0){]}^2\ln f(0)$。在选项 A 的条件下，$f(0)>1$、$f^{\prime \prime }(0)>0$，于是 $AC-B^2>0$ 且 $A>0$，由二阶充分条件，原点是严格极小值点，故选 A。
B 中判别式仍为正，但 $A<0$，对应极大值；C、D 中 $0<f(0)<1$，故 $\ln f(0)<0$，且 $f^{\prime \prime }(0)\ne 0$，判别式为负，原点为鞍点，均不符合。
$AC-B^2>0$ 是此处采用的充分判别条件，不能说所有极值点都必须满足它；若判别式为零，该判别法不能直接作结论。