2009 · 数学一 · 第 6 题 · 选择题

设

A, B

均为

2

阶矩阵，

A^{*}, B^{*}

分别为

A, B

的伴随矩阵，若

∣ A ∣ = 2, ∣ B ∣ = 3

，则分块矩阵

(O B A O)

的伴随矩阵为（　　）。

答案

令

M = (O B A O)

。由于 $det A = 2, det B = 3$ ，且分块大小为 $2$ ，有 $det M = det A det B = 6$ ，并且

M^{- 1} = (O A^{- 1} B^{- 1} O)

。

所以

M^{*} = det (M) M^{- 1} = (O 6 A^{- 1} 6 B^{- 1} O)

。又 $B^{*} = 3 B^{- 1}$ 、 $A^{*} = 2 A^{- 1}$ ，故 $6 B^{- 1} = 2 B^{*}$ 、 $6 A^{- 1} = 3 A^{*}$ 。因此答案为

(O 3 A^{*} 2 B^{*} O)

，即选项 B。