由 $Y=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，且各变量独立同分布，$\mathrm{Cov}(X_1,Y)=\frac{1}{n}\mathrm{Cov}(X_1,X_1)=\frac{{\sigma }^2}{n}$。

进一步有 $D(Y)=\frac{{\sigma }^2}{n}$，所以 $D(X_1+Y)={\sigma }^2+\frac{{\sigma }^2}{n}+\frac{2{\sigma }^2}{n}=(n+3)\frac{{\sigma }^2}{n}$。

同理 $D(X_1-Y)=(n-1)\frac{{\sigma }^2}{n}$，故只有选项 A 正确。