1996 · 数学三 · 第 8 题 · 选择题

设

f (x)

处处可导，则（　　）。

A
当 $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ 时，必有 $x \to - \infty lim f^{'} (x) = - \infty$
B
当 $x \to - \infty lim f^{'} (x) = - \infty$ 时，必有 $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$
C
当 $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ 时，必有 $x \to + \infty lim f^{'} (x) = + \infty$
D
当 $x \to + \infty lim f^{'} (x) = + \infty$ 时，必有 $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$
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答案

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若 $f^{'} (x) \to + \infty$ （ $x \to + \infty$ ），则存在 $R$ 使 $x > R$ 时 $f^{'} (x) > 1$ 。由拉格朗日中值定理， $f (x) - f (R) > x - R$ ，所以 $f (x) \to + \infty$ ，D 正确。

A、C 可由 $f (x) = x$ 否定；B 可由 $f (x) = x^{2}$ 否定，因为 $x \to - \infty$ 时 $f^{'} (x) = 2 x \to - \infty$ ，但 $f (x) \to + \infty$ 。