2026 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

（1）先求拐点。对 $y = (1 + x^{2})^{- 1}$ 求导，得

y^{'} y^{''} = - 2 x (1 + x^{2})^{- 2}, = - 2 (1 + x^{2})^{- 2} + 8 x^{2} (1 + x^{2})^{- 3} = \frac{2 ( 3 x ^{2} - 1 )}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} .

在 $x \geq 0$ 上， $y^{''}$ 于 $x_{0} = \frac{1}{3}$ 左侧为负、右侧为正，确实变号，故 $M = (\frac{1}{3}, \frac{3}{4})$ 。线段 $O M$ 的方程为 $y = (\frac{3 3}{4}) x$ ， $0 \leq x \leq \frac{1}{3}$ 。
（2）区域下边界为 $x$ 轴，上边界在 $[0, \frac{1}{3}]$ 为线段 $O M$ ，在 $[\frac{1}{3}, + \infty)$ 为曲线 $y = \frac{1}{( 1 + x ^{2} )}$ 。绕 $x$ 轴用圆盘法分段得

V V_{1} V_{2} = V_{1} + V_{2}, = π \int_{0}^{\frac{1}{3}} \frac{27 x ^{2}}{16} d x = \frac{27 π}{48} (\frac{1}{3})^{3} = \frac{3 π}{16}, = π \int_{\frac{1}{3}}^{+ \infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} .

第二个被积函数与 $\frac{1}{x ^{4}}$ 等价，故反常积分收敛。第一段也可看作底面半径 $\frac{3}{4}$ 、高 $\frac{1}{3}$ 的圆锥，其体积同为 $\frac{1}{3} \frac{π ( \frac{3}{4} ) ^{2}}{3} = \frac{3 π}{16}$ 。
（3）对 $V_{2}$ 令 $x = tan θ$ ， $d x = sec^{2} θ d θ$ ， $1 + x^{2} = sec^{2} θ$ ；下限变为 $\frac{π}{6}$ ，上限趋于 $\frac{π}{2}$ ，从而

V_{2} = π b \to \frac{π}{2} - lim \int_{\frac{π}{6}}^{b} cos^{2} θ d θ = π b \to \frac{π}{2} - lim [\frac{θ}{2} + \frac{sin 2 θ}{4}]_{\frac{π}{6}}^{b} = π (\frac{π}{4} - \frac{π}{12} - \frac{3}{8}) = \frac{π ^{2}}{6} - \frac{3 π}{8} .

故 $V = \frac{3 π}{16} + \frac{π ^{2}}{6} - \frac{3 π}{8} = \frac{π ^{2}}{6} - \frac{3 π}{16}$ 。

答案