因为 $\left|\frac{\sin n\alpha }{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}$，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (n\alpha )}{n^2}$ 对任意 $\alpha$ 都绝对收敛。

而 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散，所以其部分和趋于 $+\infty$。

故原级数的部分和趋于 $-\infty$，对任意 $\alpha$ 都发散，选择 C。