1999 · 数学二 · 第 7 题 · 选择题

设

α (x) = \int_{0}^{x} sin^{5} t d t

，

β (x) = \frac{1}{5} \int_{0}^{x} \frac{t ^{5}}{1 + sin t} d t

，则当

x \to 0

时，

α (x)

是

β (x)

的（　　）。

答案

查看解析展开

当 $t \to 0$ 时， $sin^{5} t \sim t^{5}$ ，故

α (x) = \int_{0}^{x} sin^{5} t d t \sim \frac{x ^{6}}{6} .

又因 $1 + sin t \to 1$ ，所以

β (x) = \frac{1}{5} \int_{0}^{x} \frac{t ^{5}}{1 + sin t} d t \sim \frac{x ^{6}}{30} .

因此 $\frac{α ( x )}{β ( x )} \to 5$ 。二者同阶但不等价，选择 C。