$AB$ 的第 $j$ 列为 $\sum _{i=1}^n{b}_{ij}{\alpha }_i$，其中 ${\alpha }_i$ 是 $A$ 的各列。因此 $AB$ 的列都可由 $A$ 的列表示，拼接后列空间不变，$r(A,AB)=r(A)$，A 正确。
用同一个例子排除其余项。取

此时 $BA=B$，$r(A)=r(B)=1$，但

的秩为 $2$，所以 B、C 都错。另一方面，

秩为 $1$，与 $r(A,B)=2$ 不同，D 也错。转置不改变整块矩阵的秩，但横拼后整体转置会变成竖拼，不能仅将每个块转置后仍横拼。

利用可逆分块矩阵作列变换：

右侧所乘矩阵可逆，其逆为 $\left(\begin{array}{cc}E& B\\ O& E\end{array}\right)$，故 $r(A,AB)=r(A,O)=r(A)$，选 A。