曲线始终在 $x$ 轴上方，故

由于 $t>0$，有 $F(t)={\mathrm{e}}^{-2t}$，从而矩形面积为 $S_1(t)=2t{\mathrm{e}}^{-2t}$。因此 $S(t)=S-S_1(t)=1-2t{\mathrm{e}}^{-2t}$。

对 $S(t)=1-2t{\mathrm{e}}^{-2t}$ 求导，得 $S^{\prime }(t)=2{\mathrm{e}}^{-2t}(2t-1)$。所以在 $0<t<\frac{1}{2}$ 时递减，在 $t>\frac{1}{2}$ 时递增。

又有 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }S(t)=1$ 和 $\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)=1$，故全局最小值在 $t=\frac{1}{2}$ 处取得，且为 $S\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{\mathrm{e}}$。