在 $xy$ 平面内设过 $(4,0)$ 的直线为 $y=k(x-4)$。代入椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，切线条件是所得关于 $x$ 的二次方程判别式为零，得到 $k^2=\frac{1}{4}$。

两条切线为 $y=\pm \frac{1}{2}(x-4)$。绕 $x$ 轴旋转后，椭球面为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2+z^2}{3}=1$，圆锥面为 $y^2+z^2=\frac{(x-4{)}^2}{4}$，即所列 $S_1,S_2$ 方程。

使用第一问得到的椭球与圆锥方程。切点的横坐标为 $x=1$。靠近外点 $(4,0)$ 的有限闭区域中，圆锥截面半径平方为 $r_2^2=\frac{(4-x{)}^2}{4}$，椭球右侧帽部在 $1\le x\le 2$ 内的半径平方为 $r_1^2=3-\frac{3x^2}{4}$。

在 $1\le x\le 2$ 上，$r_2^2-r_1^2=(x-1{)}^2$；在 $2\le x\le 4$ 上只有圆锥截面。因此体积为