总体分布函数在 $0\le t\le \theta$ 上为 $F(t)=\frac{t}{\theta }$。由样本独立性，$P(X_{(n)}\le t)=[F(t){]}^n=(\frac{t}{\theta }{)}^n$；在 $t<0$ 时为零，$t>\theta$ 时为一。因此最大值的密度为 $f_{(n)}(t)=\frac{n{t}^{n-1}}{{\theta }^n}$（$0<t<\theta$），其余处为零。于是

所以 $E(T_c)=\frac{cn}{n+1}\theta$。令其对每个 $\theta >0$ 都等于 $\theta$，得 $c=\frac{(n+1)}{n}$。

用最大值的密度计算二阶矩：$E(X_{(n)}^2)={\int }_0^{\theta }\frac{t^{2}n{t}^{n-1}}{{\theta }^n}dt=\frac{n{\theta }^2}{(n+2)}$。展开均方误差，得

这是二次项系数为正的二次函数。令 $h^{\prime }(c)=2{\theta }^2[\frac{n}{n+2}c-\frac{n}{n+1}]=0$，得唯一最小值点 $c=\frac{(n+2)}{(n+1)}$。代回得最小值 $\frac{{\theta }^2}{(n+1{)}^2}$。
也可配方为 $h(c)=\frac{n{\theta }^2}{n+2}(c-\frac{n+2}{n+1}{)}^2+\frac{{\theta }^2}{(n+1{)}^2}$。此系数与第一问不同，均方误差最小不要求估计量无偏。