当 $x<0$ 时，$x+|x|=0$；当 $x\ge 0$ 时，$x+|x|=2x$。因此原积分化为

$${\int }_0^2\frac{2x}{2+x^2}\mathrm{d}x.$$

直接积分得

$${\int }_0^2\frac{2x}{2+x^2}\mathrm{d}x={\ln (2+x^2)|}_0^2=\ln 6-\ln 2=\ln 3.$$