记题给的幂函数为 $g(x)$。因 $\sin \frac{2}{x}=\frac{2}{x}+O(x^{-3})$，$\cos \frac{1}{x}=1-\frac{1}{2x^2}+O(x^{-4})$，底数为 $1+\frac{2}{x}+O(x^{-2})$。底数在 $|x|$ 足够大时为正。

因此

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\ln g(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }x\ln [1+\frac{2}{x}+O(x^{-2})]=2.$$

上述展开对正、负无穷两个方向均适用。由指数函数的连续性，原极限为 ${\mathrm{e}}^2$。