1992 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

设生产某产品的固定成本为

10

，而当产量为

x

时的边际成本函数为

M C = - 40 - 20 x + 3 x^{2}

，边际收入函数为

M R = 32 + 10 x

。

答案

$L (x) = - 10 + 72 x + 15 x^{2} - x^{3}$

$x = 12$

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固定成本给出 $C (0) = 10$ ，故总成本为

C (x) = 10 + \int_{0}^{x} (- 40 - 20 t + 3 t^{2}) d t = 10 - 40 x - 10 x^{2} + x^{3} .

按零产量时收入为零，

R (x) = \int_{0}^{x} (32 + 10 t) d t = 32 x + 5 x^{2} .

因此总利润函数为

L (x) = R (x) - C (x) = - 10 + 72 x + 15 x^{2} - x^{3} .

产量满足 $x \geq 0$ 。对第一问求得的利润函数求导：

L^{'} (x) = 72 + 30 x - 3 x^{2} = - 3 (x - 12) (x + 2) .

在 $[0, 12)$ 上 $L^{'} (x) > 0$ ，在 $(12, \infty)$ 上 $L^{'} (x) < 0$ ，所以总利润在 $x = 12$ 时达到最大。