2003 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

设位于第一象限的曲线

y = f (x)

过点

(\frac{2}{2}, \frac{1}{2})

，其上任一点

P (x, y)

处的法线与

y

轴交于

Q

，且线段

P Q

被

x

轴平分。

答案

$x^{2} + 2 y^{2} = 1, x > 0, y > 0$

$s = \frac{l}{2 2}$

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线段 $P Q$ 被 $x$ 轴平分，而 $P = (x, y)$ ，故 $Q = (0, - y)$ 。由于 $P$ 在第一象限，直线 $P Q$ 的斜率为 $\frac{2 y}{x}$ 。

该直线是法线，所以 $- \frac{1}{y ^{'}} = \frac{2 y}{x}$ ，即 $2 y \frac{d y}{d x} = - x$ 。积分得 $x^{2} + 2 y^{2} = C$ 。

代入 $(\frac{2}{2}, \frac{1}{2})$ 得 $C = 1$ 。因此第一象限分支为 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ ，其中 $x > 0, y > 0$ 。

第一问所得椭圆的第一象限弧段可参数化为 $x = sin θ, y = \frac{cos θ}{2}$ ， $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ 。故其弧长

s = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ + \frac{1}{2} sin^{2} θ d θ .

化简被积式，得 $s = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + cos^{2} θ d θ$ 。

而

l = \int_{0}^{π} 1 + cos^{2} x d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + cos^{2} x d x,

所以 $s = \frac{l}{2 2}$ 。