（1）互换自变量。原式对 $x$ 是线性的，考虑以 $y$ 为自变量、$x$ 为未知函数。在初值点 $(1,1)$，原方程给出 $y^{\prime }=\frac{1}{2}\ne 0$，故局部可作此变换；又 $y>0$，可除以 $y$，得到

（2）利用积分因子。取 $\mu (y)={\mathrm{e}}^{\int (\frac{1}{y})\mathrm{d}y}=y$，两边乘以 $y$ 后，左端是乘积的导数：

（3）代入初值并确定分支。由 $(x,y)=(1,1)$ 得 $C=0$，所以 $xy=y^3$。在含初值的正分支上约去 $y$，得到 $x=y^2$。由 $y(1)=1$ 取正根，故 $y=\sqrt{x}$，定义于 $x>0$。

（4）回代核对。由 $y^{\prime }=\frac{1}{(2\sqrt{x})}$，有 $y+(x-3y^2)y^{\prime }=\sqrt{x}-\frac{2x}{(2\sqrt{x})}=0$，且 $y(1)=1$。该分支在 $x=0$ 不可导，故不能将零点纳入微分方程解的区间。

原方程可写成 $y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=3y^2\mathrm{d}y$，即 $\mathrm{d}(xy)=\mathrm{d}(y^3)$。积分得 $xy=y^3+C$，代入初值 $(1,1)$ 得 $C=0$，所以 $y(x-y^2)=0$。初值要求 $y>0$ 的连续分支，故取 $x=y^2$ 的正根 $y=\sqrt{x}$，$x>0$；零解和负根均不满足初值。