2022 · 数学二 · 第 15 题 · 填空题

已知曲线

L

的极坐标方程为

r = sin 3 θ (0 \leq θ \leq \frac{π}{3})

，则

L

围成的有界区域的面积为。

答案

$\frac{π}{12}$

查看解析展开

在 $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$ 上， $r = sin 3 θ \geq 0$ ；两端半径为零， $θ = \frac{π}{6}$ 时半径达到 $1$ ，曲线恰好围成一片花瓣。由极坐标面积公式，

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} sin^{2} (3 θ) d θ = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (1 - cos 6 θ) d θ = \frac{1}{4} [θ - \frac{sin 6 θ}{6}]_{0}^{\frac{π}{3}} = \frac{π}{12} .

注意公式中的 $\frac{1}{2}$ 来自径向积分，角度范围只对应一片花瓣，不应扩大到整条曲线。

曲线在 $0 \leq θ \leq \frac{π}{3}$ 上围成一片花瓣，故面积为 $S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} sin^{2} (3 θ) d θ$ 。令 $u = 3 θ$ ，则 $d θ = \frac{d u}{3}$ ，得到

S = \frac{1}{6} \int_{0}^{π} sin^{2} u d u = \frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{12} .

其中 $\int_{0}^{π} sin^{2} u d u = \frac{π}{2}$ 可由降幂公式直接得到。