由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=A$ 及连续性知 $f(0)=0$。当 $x\ne 0$ 时，换元得 $\phi (x)=x^{-1}{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$，故 ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{xf(x)-{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u}{x^2}$。

在 $x=0$ 处，$\phi (0)=0$，且 $\frac{\phi (h)}{h}={\int }_0^{1}t\frac{f(ht)}{ht}\mathrm{d}t\to A{\int }_0^{1}t\mathrm{d}t=\frac{A}{2}$。所以 ${\phi }^{\prime }(0)=\frac{A}{2}$。

沿用第一问求得的导数公式及 ${\phi }^{\prime }(0)=\frac{A}{2}$。写成 $f(x)=Ax+o(x)$。于是 ${\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u=\frac{A{x}^2}{2}+o(x^2)$。

对 $x\ne 0$，${\phi }^{\prime }(x)=\frac{xf(x)-{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u}{x^2}=\frac{A}{2}+o(1)$。故 $\underset{x\to 0}{\lim }{\phi }^{\prime }(x)=\frac{A}{2}={\phi }^{\prime }(0)$，所以 ${\phi }^{\prime }$ 在原点连续。