特征多项式为

因此 $1$ 是二重特征值，$-1$ 是单特征值。

矩阵有三个线性无关的特征向量，当且仅当特征值 $1$ 的特征子空间维数为 2，即 $A-I$ 的秩为 1。矩阵 $A-I$ 的三行分别是 $(-1,0,1)$、$(x,0,y)$、$(1,0,-1)$。第一行与第三行互为相反数；要使秩为 1，第二行必须是第一行的倍数，这等价于 $y=-x$。因此所求条件为 $x+y=0$。