（1）对 $t>0$，从 $0$ 到 $t$ 的平均资产是积分均值，所以

同乘 $t$ 得 ${\int }_0^{t}f(s)\mathrm{d}s=f(t)-t^2$。由连续性与 $f(0)=0$，该积分等式在 $t=0$ 也成立。
（2）$f$ 连续，变限积分可导；再由 $f(t)={\int }_0^{t}f(s)\mathrm{d}s+t^2$ 可知 $f$ 本身可导。求导得 $f^{\prime }=f+2t$，即 $f^{\prime }-f=2t$。
（3）齐次通解为 $C{\mathrm{e}}^t$。右端是一次多项式，设特解 $at+b$，代入得 $-at+a-b=2t$。比较系数得 $a=b=-2$，故 $f=C{\mathrm{e}}^t-2t-2$。由 $f(0)=0$ 得 $C=2$，即 $f=2{\mathrm{e}}^t-2t-2$。
（4）求导可能丢失积分常数，故回代原式：

除以 $t>0$ 即恢复平均资产条件，且 $f(0)=0$。