2001 · 数学二 · 第 13 题 · 解答题

设

ρ = ρ (x)

是抛物线

y = x

上任一点

M (x, y) (x \geq 1)

处的曲率半径，

s = s (x)

是该抛物线上介于点

A (1, 1)

与

M

之间的弧长，计算

3 ρ \frac{d ^{2} ρ}{d s ^{2}} - (\frac{d ρ}{d s})^{2}

的值。在直角坐标系下，曲率公式为

K = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{' 2} ) ^{\frac{3}{2}}}

。

答案

$9$

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由 $y = x$ 得 $y^{'} = \frac{1}{( 2 x )}$ 、 $y^{''} = - \frac{1}{( 4 x ^{\frac{3}{2}} )}$ 。因此

K = \frac{2}{( 4 x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}, ρ = \frac{( 4 x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{2} .

弧长满足

\frac{d s}{d x} = 1 + (y^{'})^{2} = \frac{4 x + 1}{2 x} .

又有 $\frac{d ρ}{d x} = 3 4 x + 1$ ，故

\frac{d ρ}{d s} = 6 x, \frac{d ^{2} ρ}{d s ^{2}} = \frac{6}{4 x + 1} .

代入所求式：

3 ρ \frac{d ^{2} ρ}{d s ^{2}} - (\frac{d ρ}{d s})^{2} = 9 (4 x + 1) - 36 x = 9.