（1）令 $t=\frac{1}{n}\to 0^{+}$，将幂写成指数。由 $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3)$，有 $\frac{\ln (1+t)}{t}=1-\frac{t}{2}+O(t^2)$，故

其中使用了 $e^s-1=s+O(s^2)$。
（2）等价关系要求 $b\ne 0$，且两者之比趋于 $1$。该比值为 $[-\frac{e}{(2b)}+o(1)]n^{a-1}$。若 $a<1$，比值趋零；若 $a>1$，其绝对值趋于无穷。故 $a=1$，再由 $-\frac{e}{(2b)}=1$ 得 $b=-\frac{e}{2}$。代入后比值确实趋于 $1$。

令 $F(t)=\exp [\frac{\ln (1+t)}{t}]$（$t>0$），已知 $F(t)\to e$。求 $\frac{[F(t)-e]}{t}$ 的极限，可用洛必达法则，其导数比为

由 $\frac{t}{(1+t)}=t-t^2+o(t^2)$ 与 $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$，括号商趋于 $-\frac{1}{2}$，所以 $F^{\prime }(t)\to -\frac{e}{2}$。洛必达条件成立，得 $\frac{[F(t)-e]}{t}\to -\frac{e}{2}$。取 $t=\frac{1}{n}$，得到 $(1+\frac{1}{n}{)}^n-e\sim -\frac{e}{(2n)}$，因此 $a=1,b=-\frac{e}{2}$。