1994 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

已知点

A

与

B

的直角坐标分别为

(1, 0, 0)

与

(0, 1, 1)

。线段

A B

绕

z

轴旋转一周所围成的旋转曲面为

S

。求由

S

及两平面

z = 0

、

z = 1

所围成的立体体积。

答案

$\frac{2 π}{3}$

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以 $z \in [0, 1]$ 参数化线段 $A B$ ，得 $(x, y, z) = (1 - z, z, z)$ 。该点到 $z$ 轴的距离平方为 $r^{2} (z) = (1 - z)^{2} + z^{2}$ 。

旋转体在高度 $z$ 的截面是半径 $r (z)$ 的圆，故体积为

V = π \int_{0}^{1} [(1 - z)^{2} + z^{2}] d z = \frac{2 π}{3} .