若 $A$ 可逆，则由 $AB=O$ 左乘 $A^{-1}$ 会得到 $B=O$，与 $B\ne O$ 矛盾。因此 $A$ 必为奇异矩阵，即 $|A|=0$。

计算

故 $|A|=0$ 给出 $\lambda =1$。此时 $A$ 奇异，存在非零向量 $v$ 使 $Av=0$；取一列为 $v$、其余列为零即可构造非零矩阵 $B$ 满足 $AB=O$，所以该值也充分。