令 $t={\mathrm{e}}^x$，则原积分化为 $\int t^{-3}\arctan t\mathrm{d}t$。

分部积分取 $u=\arctan t$、$\mathrm{d}v=t^{-3}\mathrm{d}t$，得到

$$-\frac{\arctan t}{2t^2}+\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2(1+t^2)}.$$

由 $\frac{1}{[t^2(1+t^2)]}=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{(1+t^2)}$，积分为

$$-\frac{\arctan t}{2t^2}-\frac{1}{2t}-\frac{1}{2}\arctan t+C.$$

代回 $t={\mathrm{e}}^x$ 即得结论。