由原幂级数的收敛半径为 $3$，有

由于 $\sqrt[n]{n}\to 1$，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{y}^n$ 的收敛半径仍为 $3$。

令 $y=x-1$。题给级数为 $y\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{y}^n$，故当 $|y|<3$ 时绝对收敛，当 $|y|>3$ 时发散。因此按幂级数收敛区间的通常术语，所求为

收敛区间与包含可能端点的收敛域应区分。左端点 $x=-2$ 处的级数为

右端点 $x=4$ 处的级数为

相应端点属于收敛域，当且仅当该端点级数收敛。

仅凭原收敛半径不能确定端点。例如，对 $n\ge 1$ 取 $a_n=\frac{3^{-n}}{n^3}$，新级数两端都收敛；取 $a_n=\frac{3^{-n}}{n}$，两端通项均不趋于零，故都发散；取 $a_n=\frac{3^{-n}}{n^2}$ 或 $a_n=(-1{)}^n\frac{3^{-n}}{n^2}$，则分别只有左端点或右端点收敛。这些原级数的收敛半径均为 $3$，不影响所问开区间 $(-2,4)$。