有解的充要条件为$t=-2$，而$p$可取任意实数。

无解的充要条件为$t\ne -2$，而$p$可取任意实数。

当$t=-2,p\ne -8$时，$x=(-1,1,0,0{)}^T+s(-1,-2,0,1{)}^T$；当$t=-2,p=-8$时，$x=(-1,1,0,0{)}^T+r(4,-2,1,0{)}^T+s(-1,-2,0,1{)}^T$，其中参数均为任意实数。

以第一式消去其余三式中的 $x_1$。分别作 $R_2-2R_1$、$R_3-3R_1$、$R_4-R_1$，再消元，可得到两个相容条件

第二个条件要求且只要求 $t=-2$；此时对任意实数 $p$，第一个等式总可通过取 $x_3=0$ 满足。因此方程组有解的充要条件为 $t=-2$，$p$ 任意。

由第一问的消元结果，必有 $0=t+2$。因此当且仅当 $t\ne -2$ 时，增广矩阵出现矛盾行，方程组无解；这一结论与 $p$ 的取值无关。

由第一问，在有解条件 $t=-2$ 下，消元后的基本关系为

若 $p\ne -8$，则 $x_3=0$。令 $x_4=s$，得

相应导出组的基础解系为 $\{(-1,-2,0,1{)}^T\}$。

若 $p=-8$，则 $x_3,x_4$ 都是自由未知量。令 $x_3=r,x_4=s$，得

相应导出组的基础解系为 $\{(4,-2,1,0{)}^T,(-1,-2,0,1{)}^T\}$。