令 $t=\arctan x$，则 $x=\tan t$，$\mathrm{d}x={\sec }^{2}t\mathrm{d}t$，且 $(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}={\sec }^{3}t$。

被积式化为 ${\mathrm{e}}^t\sin t\mathrm{d}t$，所以积分为 $\frac{{\mathrm{e}}^t}{2}(\sin t-\cos t)+C$。

代回 $t=\arctan x$，利用 $\sin t=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$、$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，得 $\frac{{\mathrm{e}}^{\arctan x}(x-1)}{2\sqrt{1+x^2}}+C$。