由于 $\frac{\ln (1+t)}{t}\to 1$（$t\to 0^{+}$），其在零点可连续延拓，所以 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续有界。由 ${\int }_0^1{x}^{-\frac{1}{2}}dx<\infty$，所求积分绝对收敛。又 $f(1)=0$、$f^{\prime }(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$，分部积分得

边界项为零：上端 $f(1)=0$，下端由 $f$ 有界及 $\sqrt{x}\to 0$ 得到。令 $x=u^2$，得 $I=-4J$，其中 $J={\int }_0^1\ln (1+u^2)du$。再分部积分：

所以 $I=-4(\ln 2-2+\frac{\pi }{2})=8-4\ln 2-2\pi$。