由 $x^{\prime }(t)=2t{\mathrm{e}}^{-x(t)}$，有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathrm{e}}^{x(t)}=2t$。结合 $x(0)=0$，得 ${\mathrm{e}}^{x(t)}=1+t^2$，即 $x(t)=\ln (1+t^2)$。

又 $y^{\prime }(t)=2t\ln (1+t^2)$，$x^{\prime }(t)=\frac{2t}{1+t^2}$，所以在 $t\ne 0$ 时

参数曲线满足 $x\ge 0$。在 $x>0$ 上对 $x$ 再求导，得到 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}={\mathrm{e}}^x(x+1)$。 在端点 $x=0$ 处，该式给出右侧二阶导数；也可将消去参数得到的 $y={\mathrm{e}}^x(x-1)+1$ 延拓到零点邻域后求通常的二阶导数。