由 ${\mathrm{e}}^{[\varphi (x){]}^2}=1-x$，取对数得 $[\varphi (x){]}^2=\ln (1-x)$。

由于 $\varphi (x)\ge 0$，故 $\varphi (x)=\sqrt{\ln (1-x)}$。

须有 $1-x>0$ 且 $\ln (1-x)\ge 0$。后者等价于 $1-x\ge 1$，即 $x\le 0$，并已保证对数真数为正。

因此定义域为 $(-\infty ,0]$。