$\frac{1}{4}$

$\frac{7-\sqrt{13}}{12}$

样本均值为 $\bar{X}=\frac{3+1+3+0+3+1+2+3}{8}=2$。总体一阶矩为 $E(X)=2\theta (1-\theta )+2{\theta }^2+3(1-2\theta )=3-4\theta$。

令 $E(X)=\bar{X}$，得 $3-4\theta =2$，所以矩估计值为 ${\hat{\theta }}_{\mathrm{M}}=\frac{1}{4}$。

样本中 $0,1,2,3$ 的出现次数分别为 $1,2,1,4$，故似然函数为 $L(\theta )=4{\theta }^6(1-\theta {)}^2(1-2\theta {)}^4$，其中 $0<\theta <\frac{1}{2}$。

对数似然的导数为 ${\ell }^{\prime }(\theta )=\frac{6}{\theta }-\frac{2}{1-\theta }-\frac{8}{1-2\theta }$。令其为零，得到 $12{\theta }^2-14\theta +3=0$，根为 $\frac{7\pm \sqrt{13}}{12}$。

只有 $\frac{7-\sqrt{13}}{12}$ 落在 $(0,\frac{1}{2})$ 内；且 $L(\theta )$ 在两端趋于零、对数似然严格凹，因此最大似然估计值为 ${\hat{\theta }}_{\mathrm{ML}}=\frac{7-\sqrt{13}}{12}$。