1987 · 数学三 · 第 2 题 · 填空题

曲线

y = arctan x

在横坐标为

1

的点处：
切线方程是；
法线方程是。

答案

第 1 空： $y - \frac{π}{4} = \frac{1}{2} (x - 1)$

第 2 空： $y - \frac{π}{4} = - 2 (x - 1)$

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第 1 空：

当 $x = 1$ 时，曲线上点为 $(1, \frac{π}{4})$ 。又

y^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}, y^{'} (1) = \frac{1}{2} .

因而切线为

y - \frac{π}{4} = \frac{1}{2} (x - 1) .

第 2 空：

切线斜率为 $\frac{1}{2}$ ，所以法线斜率为其负倒数 $- 2$ 。法线经过 $(1, \frac{π}{4})$ ，故

y - \frac{π}{4} = - 2 (x - 1) .