1995 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

设

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{sin t}{π - t} d t

，求

\int_{0}^{π} f (x) d x

。

答案

$2$

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将二重积分区域写成 $0 \leq t \leq x \leq π$ ：

\int_{0}^{π} f (x) d x = \int_{0}^{π} \int_{0}^{x} \frac{sin t}{π - t} d t d x .

交换积分次序后，

\int_{0}^{π} \int_{t}^{π} \frac{sin t}{π - t} d x d t = \int_{0}^{π} sin t d t = 2.