在积分中令 $u=\frac{t}{3}$，则

并由 $x=0$ 得 $f(0)=1$。

方程右端可导，故 $f$ 可导。两边求导得到 $f^{\prime }-3f=2{\mathrm{e}}^{2x}$。乘以积分因子 ${\mathrm{e}}^{-3x}$ 后积分，

因此

代回原积分方程可直接验证。