2021 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

已知曲线

C : {x^{2} + 2 y^{2} - z = 6 4 x + 2 y + z = 30

，求

C

上的点到

x O y

坐标面距离的最大值。

答案

$66$ ，在 $(- 8, - 2, 66)$ 处取得

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点到 $x O y$ 面的距离为 $∣ z ∣$ 。将两个约束相加消去 $z$ ，配方得到

(x + 2)^{2} + 2 (y + \frac{1}{2})^{2} = \frac{81}{2} .

投影为紧椭圆，且 $z = 30 - 4 x - 2 y$ 是投影坐标的连续函数，故空间可行曲线也是紧集， $z$ 的最大、最小值均存在。
记 $g_{1} = x^{2} + 2 y^{2} - z - 6$ 、 $g_{2} = 4 x + 2 y + z - 30$ 。若两约束梯度线性相关，由第三分量可知必须有 $(2 x, 4 y, - 1) = - (4, 2, 1)$ ，即 $x = - 2, y = - \frac{1}{2}$ ，但该点不满足上述椭圆方程，故可行集上两梯度线性无关。
令 $L = z + λ g_{1} + μ g_{2}$ ，一阶条件为

2 λ x + 4 μ 4 λ y + 2 μ 1 - λ + μ = 0, = 0, = 0.

若 $λ = 0$ ，前式给 $μ = 0$ ，与第三式矛盾，故 $λ \neq = 0$ 。由前两式 $μ = - λ \frac{x}{2} = - 2 λ y$ ，得 $x = 4 y$ 。代入消元后的约束，得 $18 y^{2} + 18 y - 36 = 0$ ，所以 $y = 1$ 或 $- 2$ 。对应点为 $(4, 1, 12)$ 、 $(- 8, - 2, 66)$ 。
比较候选值可知 $12 \leq z \leq 66$ ，曲线全在 $z > 0$ 一侧，故 $∣ z ∣ = z$ ，最大距离为 $66$ ，在 $(- 8, - 2, 66)$ 处取得。

令 $u = x + 2$ 、 $v = y + \frac{1}{2}$ 。两约束等价于 $u^{2} + 2 v^{2} = \frac{81}{2}$ 、 $z = 39 - (4 u + 2 v)$ 。由柯西不等式，

∣4 u + 2 v ∣ \leq 4^{2} + (2)^{2} u^{2} + 2 v^{2} = 27.

所以 $12 \leq z \leq 66$ ，从而 $∣ z ∣ \leq 66$ 。要取上端点 $z = 66$ ，需 $4 u + 2 v = - 27$ 。柯西等号条件给出 $u = 4 v$ ，取负比例并结合椭圆约束得 $v = - \frac{3}{2}, u = - 6$ ，即 $x = - 8, y = - 2, z = 66$ 。该点满足两原约束，故最大距离确为 $66$ 。