2005 · 数学一 · 第 10 题 · 选择题

设有三元方程

x y - z ln y + e^{x z} = 1

，根据隐函数存在定理，存在点

(0, 1, 1)

的一个邻域，在此邻域内该方程（　　）。

A
只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z = z (x, y)$
B
可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y = y (x, z)$ 和 $z = z (x, y)$
C
可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x = x (y, z)$ 和 $z = z (x, y)$
D
可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x = x (y, z)$ 和 $y = y (x, z)$
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答案

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令 $F (x, y, z) = x y - z ln y + e^{x z} - 1$ 。在 $(0, 1, 1)$ 处， $F_{x} = y + z e^{x z} = 2$ ， $F_{y} = x - \frac{z}{y} = - 1$ ，而 $F_{z} = - ln y + x e^{x z} = 0$ 。

因此可由定理确定 $x = x (y, z)$ 和 $y = y (x, z)$ ，不能由该定理确定 $z = z (x, y)$ ，故选 D。