2001 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

设某班车起点站上客人数

X

服从参数

λ (λ > 0)

的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为

p (0 < p < 1)

，且途中下车与否相互独立，以

Y

表示在中途下车的人数。

(1) 求在发车时有 $n$ 个乘客的条件下，中途有 $m$ 人下车的概率；
(2) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布。

答案

第 1 问

$P {Y = m ∣ X = n} = (m n) p^{m} (1 - p)^{n - m}, m = 0, 1, \dots, n$

第 2 问

$P {X = n, Y = m} = ⎩ ⎨ ⎧ e^{- λ} \frac{λ ^{n}}{n !} (m n) p^{m} (1 - p)^{n - m}, 0, n = 0, 1, \dots, 0 \leq m \leq n, 其他情形 .$

解析

第 1 问

在给定 $X = n$ 时， $n$ 位乘客各自以概率 $p$ 独立地在中途下车，因此 $Y ∣ X = n \sim B (n, p)$ 。所以 $P {Y = m ∣ X = n} = (m n) p^{m} (1 - p)^{n - m}$ ，其中 $m = 0, 1, \dots, n$ 。

第 2 问

对 $n = 0, 1, \dots$ 且 $0 \leq m \leq n$ ，有

P {X = n, Y = m} = P {X = n} P {Y = m ∣ X = n} .

代入泊松分布与上一问结果，得到

P {X = n, Y = m} = e^{- λ} \frac{λ ^{n}}{n !} (m n) p^{m} (1 - p)^{n - m} .

其余 $(n, m)$ 取值下概率为零。