${\hat{\theta }}_M=\frac{2\overline{X}-1}{1-\overline{X}}$

${\hat{\theta }}_L=-\frac{n}{\sum _{i=1}^n\ln x_i}-1$

总体均值为 $E(X)=(\theta +1){\int }_0^1{x}^{\theta +1}\mathrm{d}x=\frac{\theta +1}{\theta +2}$。

令它等于样本均值 $\overline{X}$，解得矩估计量 ${\hat{\theta }}_M=\frac{2\overline{X}-1}{1-\overline{X}}$。由于样本值位于 $(0,1)$，该估计值满足参数约束 ${\hat{\theta }}_M>-1$。

似然函数为 $L(\theta )=(\theta +1{)}^n{\prod }_{i=1}^n{x}_i^{\theta }$，故 $\ell (\theta )=n\ln (\theta +1)+\theta \sum _{i=1}^n\ln x_i$。

令 ${\ell }^{\prime }(\theta )=\frac{n}{\theta +1}+\sum \ln x_i=0$，得 ${\hat{\theta }}_L=-\frac{n}{\sum _{i=1}^n\ln x_i}-1$。又 ${\ell }^{\prime \prime }(\theta )=-\frac{n}{(\theta +1{)}^2}<0$，所以这是唯一极大值点。