2000 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是

P_{1} = 18 - 2 Q_{1}, P_{2} = 12 - Q_{2}

，其中

P_{1}, P_{2}

分别表示两个市场的价格（单位：万元/吨），

Q_{1}, Q_{2}

分别表示两个市场的销售量（单位：吨）。企业的总成本函数为

C = 2 Q + 5

，其中

Q = Q_{1} + Q_{2}

。

(1) 如果实行价格差别策略，确定两个市场的销售量和价格，使企业获得最大利润；
(2) 如果实行价格无差别策略，确定两个市场的销售量及统一价格，使总利润最大化；
(3) 比较价格差别策略与价格无差别策略下的总利润大小。

答案

第 1 问

$Q_{1} = 4, P_{1} = 10; Q_{2} = 5, P_{2} = 7$

第 2 问

$Q_{1} = 5, Q_{2} = 4, P = 8$

第 3 问

$π_{d} = 52 > π_{u} = 49$

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第 1 问

价格差别下利润为 $π = (18 - 2 Q_{1}) Q_{1} + (12 - Q_{2}) Q_{2} - 2 (Q_{1} + Q_{2}) - 5$ 。一阶条件为 $16 - 4 Q_{1} = 0$ 、 $10 - 2 Q_{2} = 0$ ，故 $Q_{1} = 4, Q_{2} = 5$ 。

相应价格为 $P_{1} = 18 - 2 \times 4 = 10$ 、 $P_{2} = 12 - 5 = 7$ 。二阶导数均为负，利润达到最大。

第 2 问

当统一价格 $P \leq 12$ 时， $Q_{1} = \frac{( 18 - P )}{2}$ 、 $Q_{2} = 12 - P$ ，故总需求 $Q = 21 - \frac{3 P}{2}$ ，即 $P = 14 - \frac{2 Q}{3}$ 。

利润为 $π = (P - 2) Q - 5 = 12 Q - \frac{2 Q ^{2}}{3} - 5$ ，由 $π^{'} = 12 - \frac{4 Q}{3} = 0$ 得 $Q = 9, P = 8$ 。于是 $Q_{1} = 5, Q_{2} = 4$ 。该点位于两市场同时销售的区间；利润函数在此区间严格凹，最大利润为 $49$ 万元。

当 $12 \leq P \leq 18$ 时仅第一市场有销量，利润为 $π = (P - 2) \frac{( 18 - P )}{2} - 5$ ，导数为 $10 - P < 0$ ，故该分支最大利润为 $π (12) = 25$ 万元。价格再高时没有销量，也不优于 $49$ 万元。因此全局最优仍为 $P = 8$ 。

第 3 问

代入前两问的最优价格和销量。价格差别时 $π_{d} = 10 \times 4 + 7 \times 5 - [2 (4 + 5) + 5] = 52$ 。统一价格时 $π_{u} = 8 \times 9 - [2 \times 9 + 5] = 49$ 。故价格差别策略的总利润高 $3$ 万元。