先注意坐标轴上分别有 $f(x,0)=x$、$f(0,y)=y$，两条定义在原点一致，$f(0,0)=0$。不能在坐标轴上套用 $f=xy$。
（1）第一个结论正确。按定义，$f_x(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{[f(h,0)-f(0,0)]}{h}=1$。
（2）第二个结论错误。固定 $k\ne 0$，在 $(0,k)$ 处关于 $x$ 的差商为

当 $h\to 0$ 时极限不存在，所以 $f_x(0,k)$ 不存在，不能再沿 $y$ 方向求导。另一求导次序也不成立：固定 $h\ne 0$，$\frac{[f(h,k)-f(h,0)]}{k}=h-\frac{h}{k}$ 在 $k\to 0$ 时无极限。因此两种次序的混合偏导都不存在。
（3）第三个结论正确。无论点落在哪个分支，总有 $|f(x,y)|\le |xy|+|x|+|y|\to 0$，由夹逼定理，$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0$。仅检查有限条路径不足以证明此结论。
（4）第四个结论正确。固定 $y\ne 0$，当 $x\to 0$ 且 $x\ne 0$ 时用 $xy$ 分支，故 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=\underset{x\to 0}{\lim }xy=0$；再令 $y\to 0$，得到二次极限为 $0$。内层极限不能直接用点值 $f(0,y)=y$ 代替。
因此第一个、第三个、第四个结论正确，共 $3$ 个，选 B。